这个公式怎么证明 20
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C(m,n) = n(n-1)(n-2)...(n-m+1) / m!
C(m,n-1) = (n-1)(n-2)...(n-1-m+1) / m! = (n-1)(n-2)...(n-m) / m!
C(m-1,n-1) = (n-1)(n-2)...[n-1-(m-1)+1] / (m-1)! = (n-1)(n-2)...(n-m+1) / (m-1)!
右 = (n-1)(n-2)...(n-m) / m! + (n-1)(n-2)...(n-m+1) / (m-1)!
= (n-1)(n-2)...(n-m) / m! + (n-1)(n-2)...(n-m+1)*m / m(m-1)!
= (n-1)(n-2)...(n-m) / m! + (n-1)(n-2)...(n-m+1)*m / m!
= [ (n-1)(n-2)...(n-m) + (n-1)(n-2)...(n-m+1)*m ] / m!
= (n-1)(n-2)...(n-m+1)*[ (n-m) + m ] / m!
= (n-1)(n-2)...(n-m+1)* n / m!
= 左
证明完毕
C(m,n-1) = (n-1)(n-2)...(n-1-m+1) / m! = (n-1)(n-2)...(n-m) / m!
C(m-1,n-1) = (n-1)(n-2)...[n-1-(m-1)+1] / (m-1)! = (n-1)(n-2)...(n-m+1) / (m-1)!
右 = (n-1)(n-2)...(n-m) / m! + (n-1)(n-2)...(n-m+1) / (m-1)!
= (n-1)(n-2)...(n-m) / m! + (n-1)(n-2)...(n-m+1)*m / m(m-1)!
= (n-1)(n-2)...(n-m) / m! + (n-1)(n-2)...(n-m+1)*m / m!
= [ (n-1)(n-2)...(n-m) + (n-1)(n-2)...(n-m+1)*m ] / m!
= (n-1)(n-2)...(n-m+1)*[ (n-m) + m ] / m!
= (n-1)(n-2)...(n-m+1)* n / m!
= 左
证明完毕
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简单来说，根据定义，把这三项展开，然后略作变形、整理即可
除了组合本身的公式以外，还需要用到的一点知识就是阶乘的定义，N!=N*(N-1)!
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