Question

若不等式|x-2|+|x+1|≥m恒成立,则m的取值范围

Answer 1

|x-2|+|x+1|可以看成是数轴上的任意一点到点x=2和x=(-1)的距离之和S。
S的大小分三种情况：
(1)点在x=-1的左侧，即x<-1,S＝2(-1-x)+3
(2)点在-1和2之间(含两端点)，S＝2-(-1)＝3
(3)点在x=2的右侧，即x>2，S＝2(x-2)+3
画个数轴，一目了然，显然S有最小值，第(2)种情况最小,此时S＝2-(-1)＝3
即S≥3
故m≤3时，原不等式恒成立。

Answer 2

讨论：
x≤-2
展开绝对值得：-(x+1)-(x+2)≥m
得-(2x+3)≥m,因为(2x+3)为增函数，-（2x+3）在定义域上为减函数所以-(2x+3)在x=-2时取得最小值（画图即可）
所以m≤1
-2≤m≤-1
-(x+1)+(x+2)≥m
m≤1
当x≥-1
(x+1)+(x+2)≥m
得：2x+3≥m(2x+3是增函数)
所以x=-1处取得最小值
-1≥m
综上可知m≤1

Answer 3

根据绝对值的几何意义，左式为x到2与-1的距离和
当-1<=x<=2时不等式取最小值3
因为左式>=m
所以m<=3

Answer 4

|x-2|+|x+1|≥m
|（x-0.5）-1.5|+|（x-0.5）+1.5|>=3
∴ m<=3