Question

已知函数f(x)=lg(a^x-b^x)(常数a

已知函数f(x)=lg(a^x-b^x)，常数a>1>b>0，且不等式f(x)≥0的解集是【1，正无穷大），那么:
A:a>b
B:a<b+1
C:a≥b+1
D:a=b+a
解：
令f(x)≥0得：a^x-b^x≥1
所以f(x)≥0的解集是[1，+∞）等价于a^x-b^x≥1的解集是[1，+∞）
令g(x)=a^x-b^x，则g(1)=a-b
g'(x)=xa^(x-1)-xb^(x-1)=x[a^(x-1)-b^(x-1)]
在[1，+∞）上，a^(x-1)≥1≥b^(x-1)
所以g'(x)≤0
所以g(x)在[1，+∞）上单调递减
在[1，+∞）上，g(x)≤g(1)=a-b
又g(x)≥1
要满足“a^x-b^x≥1的解集是[1，+∞）”
必须有a-b≥1，即：C:a≥b+1

为何令f(x)≥0得：a^x-b^x≥1 所以f(x)≥0的解集是[1，+∞） ？？？ 这个是怎么推导出来的？？求详解

Answer 1

(1) 解签过程中的“所以g'(x)≤0，所以g(x)在[1，+∞）上单调递减”是错误的。应该是：
所以g'(x)≥0，所以g(x)在[1，+∞）上单雀败调递增”

(2)"要满足“唤岁碧a^x-b^x≥1的解集是[1，+∞）,必须有a-b≥1，即：C:a≥b+1"这句是错的，应该是：
要满足“a^x-b^x≥1的解集是[1，+∞）,必须有a-b=1，
事实上1应当是方程a^x-b^x=1的根。所以本题答案应该是a=b+1

(3)为何令f(x)≥0得：a^x-b^x≥1 所以f(x)≥0的解集是[1，+∞） ？？？

这是因为以10为底的对数函数是增函数，所以f(x)≥0当且仅当其真数≥1，和举即a^x-b^x≥1

而a^x-b^x也是增函数，因此当且仅当x取最小值1时，a^x-b^x取最小值1 ，因此，a-b=1