Question

fx二阶导数小于零,f(0)=0,试证,对任意二正数x1,x2,恒有f(x1+x2)<f(x1)+f(x2)

Answer 1

∵f‘’(x)<0
∴在f(x)的定义域内的一阶导数单调递减，并且在定义域内连续
对于任意的正数x1，x2，不妨设0<x1<x2<x1+x2
在(0，x1)上，由微分中值定理得存在ξ1∈(0，x1)，使得f'(ξ1)=[f(x1)-f(0)]/[(x1)-0]=f(x1)/x1
在(x2，x1+x2)上，由微分中值定理得存在ξ2∈(x2，x1+x2)
使得f'(ξ2)=[f(x1+x2)-f(x2)]/[(x1+x2)-x2]=[f(x1+x2)-f(x2)]/x1
∵ξ1<ξ2
∴f'(ξ1)>f'(ξ2)
即f(x1)/x1>[f(x1+x2)-f(x2)]/x1
又∵x1>0
∴f(x1+x2)-f(x2)<f(x1)
即f(x1+x2)<f(x1)+f(x2)，对任意二正数x1,x2恒成立