Question

函数对称性

f(a+x)+f(a-x)=2b和f(x)+f(2a-x)=2b表示的意义相同???怎么解释

Answer 1

当定义域是R时，相同。
在f(x)+f(2a-x)=2b中用(a+x)代替x，即得：
f(a+x)+f(2a-(a+x))=2b

即：f(a+x)+f(a-x)=2b
都表示，y=f(x) (x∈R)的图像关于点(a,b)对称。

追问

若函数f(x)关于点(a,b)对称，根据f(a+x)+f(a-x)=2b画出的图像是对的，根据f(x)+f(2a-x)=2b画出的图像就不一样了，这是怎么回事啊？

追答

通过这个关系式可以由f(x)在x>a上的图像，直接绕点(a,b)旋转180度得到xa上的函数表达式算出x<a部分的表达式，再画图。

Answer 2

f(a+x)+f(a-x)=2b

用（t-a)替代x
可以得到f(t)+f(2a-t)=2b

那么我们再把t换成x就可以了，得到
f(x)+f(2a-x)=2b

追问

若函数f(x)关于点(a,b)对称，根据f(a+x)+f(a-x)=2b画出的图像是对的，根据f(x)+f(2a-x)=2b画出的图像就不一样了，这是怎么回事啊？

追答

因为用到替换了啊，先用（t-a)替代x

再用x替换t
就是相当于把图像向左平移了a个单位。当然不是关于(a,b)对称了。

很简单验证，取x=0，那么第一个得到的是2f(a)=2b
那么f(a)=b
但是第二个是f(2a)=2b
不能得到f(a)=b。