幂级数收敛区间
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对x ≠ 0, 记a[n] = x^n/((2n-1)3^n),
则n → ∞时, 相邻项比值的绝对值|a[n+1]/a[n]| = (2n-1)/(2n+1)·|x|/3 → |x|/3.
根据D'Alembert比值判别法, 当|x| > 3时级数发散, |x| < 3时级数收敛.
再讨论端点情形.
当x = 3时, 级数为∑1/(2n-1).
由1/(2n-1) > 1/(2n), 而∑1/(2n) = 1/2·∑1/n发散, 根据比较判别法知级数发散.
当x = -3时, 级数为∑(-1)^n/(2n-1).
这是一个交错级数, 且通项绝对值1/(2n-1)单调递减趋于0, 根据Leibniz判别法知级数收敛.
综上, 幂级数的收敛域为[-3,3).
则n → ∞时, 相邻项比值的绝对值|a[n+1]/a[n]| = (2n-1)/(2n+1)·|x|/3 → |x|/3.
根据D'Alembert比值判别法, 当|x| > 3时级数发散, |x| < 3时级数收敛.
再讨论端点情形.
当x = 3时, 级数为∑1/(2n-1).
由1/(2n-1) > 1/(2n), 而∑1/(2n) = 1/2·∑1/n发散, 根据比较判别法知级数发散.
当x = -3时, 级数为∑(-1)^n/(2n-1).
这是一个交错级数, 且通项绝对值1/(2n-1)单调递减趋于0, 根据Leibniz判别法知级数收敛.
综上, 幂级数的收敛域为[-3,3).
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