Question

微分中值定理

Answer 1

（1）令f(x)=(1+x)ln^2(1+x)-x^2，(0<x<1)
f'(x)=ln^2(1+x)+2ln(1+x)-2x
f''(x)=2ln(1+x)/(1+x)+2/(1+x)-2=2[ln(1+x)-x]/(1+x)<0
所以f'(x)严格单调递减，因为f'(0)=0，所以f'(x)<0
所以f(x)严格单调递减，因为f(0)=0，所以f(x)<0
即(1+x)ln^2(1+x)<x^2
（2）令f(x)=1/ln(1+x)-1/x，(0<x<1)
f'(x)=-1/(1+x)ln^2(1+x)+1/x^2=[(1+x)ln^2(1+x)-x^2]/[x^2*(1+x)ln^2(1+x)]
由题（1）结论，有f'(x)<0，所以f(x)严格单调递减，因为f(1)=1/ln2-1
且lim(x->0+)f(x)=lim(x->0+)[x-ln(1+x)]/xln(1+x)
=lim(x->0+)[1-1/(1+x)]/[ln(1+x)+x/(1+x)]
=lim(x->0+)x/[(1+x)ln(1+x)+x]
=lim(x->0+)1/[ln(1+x)+2]
=1/2
所以1/ln2-1<1/ln(1+x)-1/x<1/2