Question

溶液自深18cm顶直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中,开始时漏斗中盛满了溶液

溶液自深18cm顶直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中,开始时漏斗中盛满了溶液.已知当溶液在漏斗中深为12cm时,其表面下降的速率为1cm/min.问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少?

Answer 1

正圆锥容器体积是：v = (1/3)(pi)r^2 h
按题意，水深与水面圆直径相等, r/h = (12/2) / 18 = 1/3, r = 1/3 h
题中正圆锥容器体积是：v = (1/3)(pi)(h/3)^2 h = (pi/27) h^3
dv / dh = (pi/9) h^2, dv = (pi/9) h^2 dh

正圆柱容器体积是：V = (pi)R^2 H
题中正圆锥容器体积是：V = (pi)(10/2)^2 H = 25pi H
dV /dH = 25 pi, dV = 25 pi dH

已知当溶液在漏斗中深为12cm时,其表面下降的速率为1cm/min, 即：
dv = (pi/9) h^2 dh = (pi/9)x12^2 x 1
dV = dv， 25 pi dH = (pi/9)x12^2 x 1， dH = 25 x 9 / 12^2 = 225 / 144 = 1.56 (cm/min)
此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为1.56 cm/min。