2013-08-31
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1、大小两桶油,重量比是7:3,如果从大桶取出12千克倒入小桶,则两桶油中的油正好相等。两桶油原来各有多少油?
12/2*10=60(千克)
7+3=10
60/10*7=42(千克)
60/10*3=18(千克)
答:大桶里有42千克油,
小桶里有18千克油。
2、一桶汽油,桶的重量是油的8%,倒出48千克后,油的重量相当于同的二分之一,原有油多少千克?
48/(1-8%*0.5)
=48/96%
=50(千克)
答:原有油50千克。
*=乘号
/=除号
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中国剩余定理”算理及其应用:(可以让你学会并考别人)
为什么这样解呢?因为70是5和7的公倍数,且除以3余1。21是3和7的公倍数,且除以5余1。15是3和5的公倍数,且除以7余1。(任何一个一次同余式组,只要根据这个规律求出那几个关键数字,那么这个一次同余式组就不难解出了。)把70、21、15这三个数分别乘以它们的余数,再把三个积加起来是233,符合题意,但不是最小,而105又是3、5、7的最小公倍数,去掉105的倍数,剩下的差就是最小的一个答案。
用歌诀解题容易记忆,但有它的局限性,只能限于用3、5、7三个数去除,用其它的数去除就不行了。后来我国数学家又研究了这个问题,运用了像上面分析的方法那样进行解答。
例1:一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小是几?
题中3、4、5三个数两两互质。
则〔4,5〕=20;〔3,5〕=15;〔3,4〕=12;〔3,4,5〕=60。
为了使20被3除余1,用20×2=40;
使15被4除余1,用15×3=45;
使12被5除余1,用12×3=36。
然后,40×1+45×2+36×4=274,
因为,274>60,所以,274-60×4=34,就是所求的数。
例2:一个数被3除余2,被7除余4,被8除余5,这个数最小是几?
题中3、7、8三个数两两互质。
则〔7,8〕=56;〔3,8〕=24;〔3,7〕=21;〔3,7,8〕=168。
为了使56被3除余1,用56×2=112;
使24被7除余1,用24×5=120。
使21被8除余1,用21×5=105;
然后,112×2+120×4+105×5=1229,
因为,1229>168,所以,1229-168×7=53,就是所求的数。
例3:一个数除以5余4,除以8余3,除以11余2,求满足条件的最小的自然数。
题中5、8、11三个数两两互质。
则〔8,11〕=88;〔5,11〕=55;〔5,8〕=40;〔5,8,11〕=440。
为了使88被5除余1,用88×2=176;
使55被8除余1,用55×7=385;
使40被11除余1,用40×8=320。
然后,176×4+385×3+320×2=2499,
因为,2499>440,所以,2499-440×5=299,就是所求的数。
例4:有一个年级的同学,每9人一排多5人,每7人一排多1人,每5人一排多2人,问这个年级至少有多少人?(幸福123老师问的题目)
题中9、7、5三个数两两互质。
则〔7,5〕=35;〔9,5〕=45;〔9,7〕=63;〔9,7,5〕=315。
为了使35被9除余1,用35×8=280;
使45被7除余1,用45×5=225;
使63被5除余1,用63×2=126。
然后,280×5+225×1+126×2=1877,
因为,1877>315,所以,1877-315×5=302,就是所求的数。
例5:有一个年级的同学,每9人一排多6人,每7人一排多2人,每5人一排多3人,问这个年级至少有多少人?(泽林老师的题目)
题中9、7、5三个数两两互质。
则〔7,5〕=35;〔9,5〕=45;〔9,7〕=63;〔9,7,5〕=315。
为了使35被9除余1,用35×8=280;
使45被7除余1,用45×5=225;
使63被5除余1,用63×2=126。
然后,280×6+225×2+126×3=2508,
因为,2508>315,所以,2508-315×7=303,就是所求的数。
(例5与例4的除数相同,那么各个余数要乘的“数”也分别相同,所不同的就是最后两步。)
“中国剩余定理”简介:
我国古代数学名著《孙子算经》中,记载这样一个问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何。”用现在的话来说就是:“有一批物品,三个三个地数余二个,五个五个地数余三个,七个七个地数余二个,问这批物品最少有多少个。”这个问题的解题思路,被称为“孙子问题”、“鬼谷算”、“隔墙算”、“韩信点兵”等等。
那么,这个问题怎么解呢?明朝数学家程大位把这一解法编成四句歌诀:
三人同行七十(70)稀,
五树梅花廿一(21)枝,
七子团圆正月半(15),
除百零五(105)便得知。
歌诀中每一句话都是一步解法:第一句指除以3的余数用70去乘;第二句指除以5的余数用21去乘;第三句指除以7的余数用15去乘;第四句指上面乘得的三个积相加的和如超过105,就减去105的倍数,就得到答案了。即:
70×2+21×3+15×2-105×2=23
《孙子算经》的“物不知数”题虽然开创了一次同余式研究的先河,但由于题目比较简单,甚至用试猜的方法也能求得,所以尚没有上升到一套完整的计算程序和理论的高度。真正从完整的计算程序和理论上解决这个问题的,是南宋时期的数学家秦九韶。秦九韶于公元1247年写成的《数书九章》一书中提出了一个数学方法“大衍求一术”,系统地论述了一次同余式组解法的基本原理和一般程序。
从《孙子算经》到秦九韶《数书九章》对一次同余式问题的研究成果,在19世纪中期开始受到西方数学界的重视。1852年,英国传教士伟烈亚力向欧洲介绍了《孙子算经》的“物不知数”题和秦九韶的“大衍求一术”;1876年,德国人马蒂生指出,中国的这一解法与西方19世纪高斯《算术探究》中关于一次同余式组的解法完全一致。从此,中国古代数学的这一创造逐渐受到世界学者的瞩目,并在西方数学史著作中正式被称为“中国剩余定理”。
还有一些测试题
六年级奥数测试题
(每道题都要写出详细解答过程)
1. 三个数的和是555,这三个数分别能被3,5,7整除,而且商都相同,求这三个数。
2. 已知A是一个自然数,它是15的倍数,并且它的各个数位上的数字只有0和8两种,问A最小是几?
3. 把自然数依次排成以下数阵:
1,2,4,7,…
3
12/2*10=60(千克)
7+3=10
60/10*7=42(千克)
60/10*3=18(千克)
答:大桶里有42千克油,
小桶里有18千克油。
2、一桶汽油,桶的重量是油的8%,倒出48千克后,油的重量相当于同的二分之一,原有油多少千克?
48/(1-8%*0.5)
=48/96%
=50(千克)
答:原有油50千克。
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中国剩余定理”算理及其应用:(可以让你学会并考别人)
为什么这样解呢?因为70是5和7的公倍数,且除以3余1。21是3和7的公倍数,且除以5余1。15是3和5的公倍数,且除以7余1。(任何一个一次同余式组,只要根据这个规律求出那几个关键数字,那么这个一次同余式组就不难解出了。)把70、21、15这三个数分别乘以它们的余数,再把三个积加起来是233,符合题意,但不是最小,而105又是3、5、7的最小公倍数,去掉105的倍数,剩下的差就是最小的一个答案。
用歌诀解题容易记忆,但有它的局限性,只能限于用3、5、7三个数去除,用其它的数去除就不行了。后来我国数学家又研究了这个问题,运用了像上面分析的方法那样进行解答。
例1:一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小是几?
题中3、4、5三个数两两互质。
则〔4,5〕=20;〔3,5〕=15;〔3,4〕=12;〔3,4,5〕=60。
为了使20被3除余1,用20×2=40;
使15被4除余1,用15×3=45;
使12被5除余1,用12×3=36。
然后,40×1+45×2+36×4=274,
因为,274>60,所以,274-60×4=34,就是所求的数。
例2:一个数被3除余2,被7除余4,被8除余5,这个数最小是几?
题中3、7、8三个数两两互质。
则〔7,8〕=56;〔3,8〕=24;〔3,7〕=21;〔3,7,8〕=168。
为了使56被3除余1,用56×2=112;
使24被7除余1,用24×5=120。
使21被8除余1,用21×5=105;
然后,112×2+120×4+105×5=1229,
因为,1229>168,所以,1229-168×7=53,就是所求的数。
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则〔8,11〕=88;〔5,11〕=55;〔5,8〕=40;〔5,8,11〕=440。
为了使88被5除余1,用88×2=176;
使55被8除余1,用55×7=385;
使40被11除余1,用40×8=320。
然后,176×4+385×3+320×2=2499,
因为,2499>440,所以,2499-440×5=299,就是所求的数。
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题中9、7、5三个数两两互质。
则〔7,5〕=35;〔9,5〕=45;〔9,7〕=63;〔9,7,5〕=315。
为了使35被9除余1,用35×8=280;
使45被7除余1,用45×5=225;
使63被5除余1,用63×2=126。
然后,280×5+225×1+126×2=1877,
因为,1877>315,所以,1877-315×5=302,就是所求的数。
例5:有一个年级的同学,每9人一排多6人,每7人一排多2人,每5人一排多3人,问这个年级至少有多少人?(泽林老师的题目)
题中9、7、5三个数两两互质。
则〔7,5〕=35;〔9,5〕=45;〔9,7〕=63;〔9,7,5〕=315。
为了使35被9除余1,用35×8=280;
使45被7除余1,用45×5=225;
使63被5除余1,用63×2=126。
然后,280×6+225×2+126×3=2508,
因为,2508>315,所以,2508-315×7=303,就是所求的数。
(例5与例4的除数相同,那么各个余数要乘的“数”也分别相同,所不同的就是最后两步。)
“中国剩余定理”简介:
我国古代数学名著《孙子算经》中,记载这样一个问题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何。”用现在的话来说就是:“有一批物品,三个三个地数余二个,五个五个地数余三个,七个七个地数余二个,问这批物品最少有多少个。”这个问题的解题思路,被称为“孙子问题”、“鬼谷算”、“隔墙算”、“韩信点兵”等等。
那么,这个问题怎么解呢?明朝数学家程大位把这一解法编成四句歌诀:
三人同行七十(70)稀,
五树梅花廿一(21)枝,
七子团圆正月半(15),
除百零五(105)便得知。
歌诀中每一句话都是一步解法:第一句指除以3的余数用70去乘;第二句指除以5的余数用21去乘;第三句指除以7的余数用15去乘;第四句指上面乘得的三个积相加的和如超过105,就减去105的倍数,就得到答案了。即:
70×2+21×3+15×2-105×2=23
《孙子算经》的“物不知数”题虽然开创了一次同余式研究的先河,但由于题目比较简单,甚至用试猜的方法也能求得,所以尚没有上升到一套完整的计算程序和理论的高度。真正从完整的计算程序和理论上解决这个问题的,是南宋时期的数学家秦九韶。秦九韶于公元1247年写成的《数书九章》一书中提出了一个数学方法“大衍求一术”,系统地论述了一次同余式组解法的基本原理和一般程序。
从《孙子算经》到秦九韶《数书九章》对一次同余式问题的研究成果,在19世纪中期开始受到西方数学界的重视。1852年,英国传教士伟烈亚力向欧洲介绍了《孙子算经》的“物不知数”题和秦九韶的“大衍求一术”;1876年,德国人马蒂生指出,中国的这一解法与西方19世纪高斯《算术探究》中关于一次同余式组的解法完全一致。从此,中国古代数学的这一创造逐渐受到世界学者的瞩目,并在西方数学史著作中正式被称为“中国剩余定理”。
还有一些测试题
六年级奥数测试题
(每道题都要写出详细解答过程)
1. 三个数的和是555,这三个数分别能被3,5,7整除,而且商都相同,求这三个数。
2. 已知A是一个自然数,它是15的倍数,并且它的各个数位上的数字只有0和8两种,问A最小是几?
3. 把自然数依次排成以下数阵:
1,2,4,7,…
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2013-08-31
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徒弟生产20个,要想保持李师傅生产的零件个数是徒弟的6倍,
则李师傅应该生产6×20=120个,但李师傅实际生产了20个
那么现在李师傅生产的零件个数是徒弟的6倍还少120-20=100个
这100个就是它们倍数的差值,则可列式:
徒弟原来生产的零件:(6×20-20)÷(6-4) -20=30个
则李师傅原来生产的零件:30×6=180个
则李师傅应该生产6×20=120个,但李师傅实际生产了20个
那么现在李师傅生产的零件个数是徒弟的6倍还少120-20=100个
这100个就是它们倍数的差值,则可列式:
徒弟原来生产的零件:(6×20-20)÷(6-4) -20=30个
则李师傅原来生产的零件:30×6=180个
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