Question

如图6，在Rt三角形ABC中，角ACB＝90度，角A＝30度，BC＝2，将三角形ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到

如图6，在Rt三角形ABC中，角ACB＝90度，角A＝30度，BC＝2，将三角形ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到三角形EDC，此时，点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为？

Answer 1

60 二分之根号三
分析；（1）先求出∠B=60°，再根据旋转的性质得到DC=BC，然后根据等边三角形的判定得到△BCD是等边三角形，从而可得到n=∠BCD=60°；
（2）先求出DF⊥AC，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DF的长，根据勾股定理求出AC的长度，然后根据等腰三角形三线合一的性质求出FC的长，然后利用三角形的面积公式进行计算即可得解．
解答：（1）根据旋转的性质可得DC=CB=2，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=90°-30°=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴旋转的角度n=∠BCD=60°；
（2）∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，
∴AB=2BC=4，
∴AD=4-2=2，
∴AD=CD，
∴∠A=∠DCA=30°，
又∵∠EDC=∠B=60°，
∴DF⊥AC，
∵BC=2，AB=4，
∴AC=4平方-2平方的根号=2倍根号3
∴AF=FC=根号3
∴DF=1

阴影部分的面积=二分之1AF•DF=二分之1根号3
本题考查了30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形的面积公式，旋转变换的性质，综合题，但难度不大，稍微细心便不难解决．