Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c，且a>b>c，a+b+c=0

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c，且a>b>c，a+b+c=0。(1)求证：f(x)有两个不同的零点；(2)若存在实数x，使得ax^2+bx+a+c=0成立，<1>判断f(x+3)的符号；<2>若b不等于0，求证：ax^2+bx+a+c=0在(c/a，0)和(0，1)上各有一个解。

Answer 1

(1)证明:Δ=b-4ac=(-a-c)-4ac=(a-c)>0,所以f(x)=0有两个不等的实根 (2)<1>首先a>0,c<0.且f(1)=a+b+c=0，所以有一个解是1，因为x1×x2=c/a<0，所以，必定存在另外一个解。 1和c/a是两个根，所以f(x)=a（x-1）×（x-c/a），又因为x是ax+bx+a+c=0即f(x)=-a的根，所以a（x-1）×（x-c/a）=-a>0，推出（x-1）×（x-c/a）<0，推出x属于（c/a，1），因为f(1)=a+b+c<2a+c，所以2a+c>0，所以c/a>-2，则x+3>c/a+3>1，所以f(x+3)>0 <2>ax^2+bx+a+c=0有根则b-4a(a+c)≥0得b+4ab≥0,b(b+a+3a)≥0 b(-c+3a)≥0因为-c+3a≥0所以b≥0,又b 不为 0所以b>0 又设g(x)=ax^2+bx+a+c,g(0)×g(1)=(a+c)(2a+b+c)=-b×a<0所以 有一根在(0,1)又在上可知根都 在(c/a,1)上,可知另一个根在(c/a,0)上