已知函数f(x)=x^2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),则实数c值为
2013-08-31 · 知道合伙人教育行家
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∵函数f(x)=x^2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),
∴f(x)=x^2+ax+b=0只有一个根,
即△=a^2-4b=0则b=a^2/4
不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),
即为x^2+ax+a^2/4<c解集为(m,m+6),
则x^2+ax+a^2/4-c=0的两个根为m,m+6
∴|m+6-m|=|x1-x2|=√[(x1+x2)^2-4x1x2)]=√[a^2-4(a^2/4-c)]=6
解得c=9
∴f(x)=x^2+ax+b=0只有一个根,
即△=a^2-4b=0则b=a^2/4
不等式f(x)<c的解集为(m,m+6),
即为x^2+ax+a^2/4<c解集为(m,m+6),
则x^2+ax+a^2/4-c=0的两个根为m,m+6
∴|m+6-m|=|x1-x2|=√[(x1+x2)^2-4x1x2)]=√[a^2-4(a^2/4-c)]=6
解得c=9
追问
为什么|√[(x1+x2)^2-4x1x2)]=√[a^2-4(a^2/4-c)]?
追答
这里用到了韦达定理
即x1+x2=-b/a
x1x2=c/a
而这道题的a=1,b=a,c=a^2/4-c
所以x1+x2=-a/1=-a
x1x2=a^2/4-c
然后代入即可
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