Question

已知函数f(x)=x^2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0，+∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m,m+6)，则实数c值为

Rt，答案是9，但我需要过程

Answer 1

∵函数f（x）=x^2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），
∴f（x）=x^2+ax+b=0只有一个根，
即△=a^2-4b=0则b=a^2/4
不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），
即为x^2+ax+a^2/4＜c解集为（m，m+6），
则x^2+ax+a^2/4-c=0的两个根为m，m+6
∴|m+6-m|=|x1-x2|=√[(x1+x2)^2-4x1x2)]=√[a^2-4(a^2/4-c)]=6
解得c=9

追问

为什么|√[(x1+x2)^2-4x1x2)]=√[a^2-4(a^2/4-c)]？

追答

这里用到了韦达定理
即x1+x2=-b/a
x1x2=c/a
而这道题的a=1,b=a,c=a^2/4-c
所以x1+x2=-a/1=-a
x1x2=a^2/4-c
然后代入即可

Answer 2

追问

为什么m(m+6)=b-c呢？不是根据韦达定理m(m+6)=b吗？

追答

方程是f(x)=c了嘛，你要把c移到左边噻！