Question

已知正整数数列an的前n项和为Sn，且对任意的正整数n满足2√Sn=an+1

1.求数列an的通向公式2.设bn=1/anan+1,求数列bn的前n项和Tn

Answer 1

解：∵2√Sn=an＋1，当n=1时，2√S1=2√a1=a1＋1∴4a1＝（a1＋1）�0�5=a1�0�5＋2a1＋1 ∴a1�0�5－2a1＋1=0 ∴（a1—1）�0�5=0 ∴a1=1∴Sn=(an＋1)�0�5 /4..........................①
当n≥2时，∴S(n－1)=(a(n－1)＋1)�0�5 /4..........②①②两式相减，得：an=Sn－S(n－1)= 1/4·(an�0�5－a(n－1)�0�5)＋ 1/2·(an－a(n－1))
化简得：(an＋a(n－1))·(an－a(n－1)－2)=0，
由于任意an＞0，∴a（n－1）＞0，∴an＋a(n－1)＞0∴(an－a(n－1)－2=0， 即：(an－a(n－1)=2 （n≥2）即数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列。∴an=1＋2(n－1)=2n－1 ，（n∈N+）
.........................................................................................................2、解：由（1）知an=1＋2(n－1)=2n－1 ，（n∈N+）
∴bn=1／【an·a（n＋1）】=1／【（2n－1）（2n＋1）】=（1／2）·【1／（2n－1）－1／（2n＋1）】 ，（n∈N+）.......................................................∴Tn=b1＋b2＋...............＋bn=(1／2)·(1－1／3)＋(1／2)·(1／3－1／5)＋..........＋=（1／2）·【1／（2n－1）－1／（2n＋1）】=(1／2)·【(1－1／3)＋(1／3－1／5)＋..................＋1／（2n－1）－1／（2n＋1）】=(1／2)·【1－1／（2n＋1）】=n／(2n＋1) ，（n∈N+）即：Tn=n／(2n＋1) ，（n∈N+）................................................................................................................................

Answer 2

2√Sn=an+1中的an+1是指第n+1项还是（an）+1