Question

将f（x）=1/根号（1-x^2）展开成x的幂级数

认真回答，分数不够可申请追加！！

Answer 1

因为(1-x)^(-1/2)=1+1/2x+1*3/2*4x^2+*******+1*3******(2n-1)/2*4*****2nx^n+********

所以f(x)=-(1-x^2)^(-1/2) (把上面公式中x换成x^2)

=-(1+1/2x^2+1*3/2*4x^4+*******+1*3******(2n-1)/2*4*****2nx^2n+********)

首先把f(X)=1/x^2看成是g(x)=-1/x的导数，也就是f(x)=g'(x)。

将g(x)展开成x+2的幂级数。g(x)=-1/x=-1/(x-2+2)=-(1/2)/[1+(x-2)/2]这样就可以把g(x)看成是首项是(-1/2),公比是(x-2)/2的幂级数求和，可以展开成（x-2）的幂级数形式的。

f(x)就是对g(x)的幂级数逐项求导就行了，可以想象，逐项求导之后还是关于(x-2)的幂级数。就能达到答案了。

含义

对于可导的函数f(x)，x↦f'(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以反过来求原来的函数，即不定积分。

Answer 2

可以参考广义二项式定理：

Answer 3

因为(1-x)^(-1/2)=1+1/2x+1*3/2*4x^2+*******+1*3******(2n-1)/2*4*****2nx^n+********
所以f(x)=
=-(1-x^2)^(-1/2) (把上面公式中x换成x^2)
=-(1+1/2x^2+1*3/2*4x^4+*******+1*3******(2n-1)/2*4*****2nx^2n+********)