Question

直二面角a-EF-b,点c属于EF，AC属于a,BC属于b,角ACF=30°，角ACB=60°，则COS角BCF=--------------

Answer 1

在BC上取一点P，过点P作CD的垂线，垂足为O；过点O作CD的垂线，交AC于点Q，连接PQ
设CQ=2a
因为PO⊥CD，QO⊥CD
那么，∠POQ即是二面角A-CD-B的平面角
所以，∠POQ=90°
已知∠ACD=30°
所以，QO=a，CO=√3a
设PO=b
那么，在Rt△POQ中由勾股定理得到：PQ^2=PO^2+QO^2=b^2+a^2
在Rt△POC中由勾股定理得到：PC^2=PO^2+CO^2=b^2+3a^2
已知∠ACB=60°，则在△PCQ中由余弦定理有：
PQ^2=CQ^2+CP^2-2CQ*CP*cos60°
===> a^2+b^2=4a^2+b^2+3a^2-2*2a*√(b^2+3a^2)*(1/2)
===> a^2+b^2=7a^2+b^2-2a√(3a^2+b^2)
===> 6a^2=2a√(3a^2+b^2)
===> 3a=√(3a^2+b^2)
===> 9a^2=3a^2+b^2
===> b^2=6a^2
所以，CP^2=b^2+3a^2=b^2+(1/2)b^2=(3/2)b^2
则，CP=(√6/2)b
那么，在Rt△COP中，sin∠PCO=PO/CP=b/[(√6/2)b]=√6/3
即，sin∠BCD=√6/3