Question

已知二次函数y=a（a+1）x2-（2a+1）x+1．

（1）当此函数的图象与x轴有两个交点时，求a的取值范围；
（2）当a为正整数时，设此函数的图象与x轴相交于A、B两点，求线段AB的长；
（3）若a依次取1，2…，2010时，函数的图象与x轴相交所截得的2010条线段为A1B1，A2B2，…，A2010B2010，试求它们的长的和．

Answer 1

（1）函数的图象与x轴有两个交点时y=0，即a（a+1）x2-（2a+1）x+1=0（ax-1）【（a+1）x-1】=0ax-1=0或（a+1）x-1=0解得，x=1/a或x=1/(a+1)（2）a为正整数时，设此函数的图象与x轴相交于A、B两点，A(1/a，0)，B(1/(a+1)，0)∣AB∣=√【(x1－x2)^2+(y1－y2)^2】=√【1/a(a+1)^2】=1/【a(a+1)】（3）1/【1(1+1)】+1/【2(2+1)】+1/【3(3+1)】+，，，+1/【2010(2010+1)】=1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)+，，，+1/(2010*2011)=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/2010+1/2010-1/2011
=1-1/2011
=2010/2011

Answer 2

(1)由题意得b^2-4ac>0即(2a+1)^2-4*a(a+1)*1>0化简4a^2+4a+1-4a^2-4a>0即1>0因为1>0恒成立所以a可取全体实数