Question

用单调有界数列收敛准则证明数列极限存在。 （1）X1>0,Xn+1=1/2(Xn+a/Xn)(n=1,2...,a>0) (2)X1=√2，Xn+1

用单调有界数列收敛准则证明数列极限存在。
（1）X1>0,Xn+1=1/2(Xn+a/Xn)(n=1,2...,a>0)
(2)X1=√2，Xn+1=√(2Xn)(n=1,2...)
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Answer 1

（1）X1>0,Xn+1=1/2(Xn+a/Xn)(n=1,2...,a>0)

Xn+1=1/2(Xn+a/Xn)=(Xn^2+a)/2Xn》2Xn√a/2Xn=√a
故Xn》√a n》2 数列有下界
又：X3-X2=1/2(X2+a/X2)-X2=(1/2)(a/X2-X2)=(a-X2^2)/(2X2)《0 X3《X2
而：Xn+1-Xn=1/2(Xn+a/Xn)-1/2(X(n-1)+a/X(n-1)
=(1/2)(Xn-X(n-1))(XnX(n-1)-a)/XnX(n+1) 故Xn+1-Xn《0
Xn单减有下界，极限存在

(2)X1=√2，Xn+1=√(2Xn)

X1=√2<2 Xn+1=√(2Xn)<√4=2 数列有上界2
又：X2=√(2X1)=√(2√2)>√2=X1
Xn+1-Xn=√2(√Xn-√X(n-1))=√2(Xn-X(n-1))/(√Xn+√X(n-1))>√2(Xn-X(n-1))/4，故Xn+1-Xn>0
Xn单增有上界，极限存在