Question

如图9，在Rt△ABC中，∠c=90°，AC=6,BC=8,点F在边BC上的动点，将△沿直线EF翻

如图9，在Rt△ABC中，∠c=90°，AC=6,BC=8,点F在边BC上的动点，将△沿直线EF翻折，点C落在点P处。
（1）若CF=2，（1）当CE为多少时，使得EP平行AB；（2）求点P到AB距离的最小值；
（2）若点P能落在线段AB上；则求CF的最小值。

Answer 1

如图9，在Rt△ABC中，∠c=90°，AC=6,BC=8,点E是边AC上的动点，点F在边BC上的动点，将△沿直线EF翻折，点C落在点P处。
（1）若CF=2，<1>当CE为多少时，使得EP平行AB；<2>求点P到AB距离的最小值；
（2）若点P能落在线段AB上,则求CF的最小值。
△PEF与△CEF关于直线EF对称，他们全等，连接PC与EF交于G，因为C、P是关于EF的对称点，∴CGP⊥EGF
CG是Rt△CEF斜边上的高。
以C为原点，CA为x正方向，CB为y正方向，建立坐标系。
A(6,0),B(0,8)
(1)CF=2,F(0,2)
设E的坐标（e，0），kEF=-2/e
kCGP=-1/kEF=e/2，CGP方程y=ex/2
EF方程x/e+y/2=1，G的坐标是下列方程组的解
y=ex/2
x/e+y/2=1
x/e+ex/4=1
xG=1/（1/e+e/4）=4e/（4+e²）
yG=2e²/（4+e²）
PC=2GC，所以
xP=2xG=8e/（4+e²）
yP=2yG=4e²/（4+e²）
kAB=-8/6=-4/3，
kEP=yP/（xP-e）=4e²/（4+e²）：8e/（4+e²）-e
=4e：8-（4+e²）
=4e：4-e²
EP∥AB
kEP=kAB
4e：4-e²=-4：3
-4（4-e²)=12e
-16+4e²=12e
e²-3e-4=0
（e-4）（e+1）=0
e=4，e=-1（舍弃）
EP∥AB时，CE=4
<2>AB方程x/6+y/8=1
8x+6y-48=0

4x+3y-24=0
P到AB距离=
|4[8e/（4+e²）]+3[4e²/（4+e²）]-24|/5(勾三股四弦五）
=|32e+12e²-24（4+e²）|/5（4+e²）
=|32e+12e²-96-24e²）|/5（4+e²）
=|32e-96-12e²）|/5（4+e²）
=4|3e²-8e+24|/5（4+e²）
Δ=（-8）²-4×3×24=8²-12²×2<0,绝对值符号内时正数。
P到AB距离=
4（3e²-8e+24）/5（4+e²）
=4（3e²+12e-20e+24）/5（4+e²）
=（4/5）[3-4（5e-6）/（4+e²）]
设t=（5e-6）/（4+e²）
t'=[5（4+e²）-（5e-6）2e]/（4+e²）²
=[20+5e²-10e²+12e]/（4+e²）²
=[20-5e²+12e]/（4+e²）²
=-[5e²-12e-20]/（4+e²）²
=0
5e²-12e-20=0
Δ=（-12）²-4×5×（-20）
=4²3²+4²5²
=4²（9+25）
=4²34
e=[12±4√34]/10
=[6±2√34]/5
负号时，e<0,不取
e=[6+2√34]/5
[6+2√25]/5<e<[6+2√36]/5
[6+10]/5<e<[6+12]/5
16/5<e<18/5
可以，此时P到AB有极小值=
4（3e²-8e+24）/5（4+e²）
=4（3[6+2√34]²/5²-8[6+2√34]/5+24）/5（4+[6+2√34]²/5²）
=4（3[6+2√34]²-8[6+2√34]5+24×25）/5（4×25+[6+2√34]²）
=4（3[36+24√34+136]-40[6+2√34]+600）/5（100+[36+24√34+136]）
=（108+72√34+408-240-80√34+600）/5（25+9+6√34+34）
=（876-8√34）/5（68+6√34）
=（438-4√34）/5（34+3√34）
=（438-4√34）（√34-3）/5（34²-9×34）
=√34（438-4√34）（√34-3）/170(34-9)
=√34（438√34-1314-4×34+12√34）/(170×25)
=√34（450√34-1450）/(85×50)
=√34（9√34-29）/85
=（306-29√34）/85
=1.6106

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