Question

一道高中的数学题，关于几何，要详细过程

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1=AC=BC,∠ACB=90°，P是AA1的中点，Q是AB的中点
求证：AB⊥C1CQ
求异面直线PQ与B1C所成角的大小
求直线PQ与面QB1C所成角的正弦值。

Answer 1

解：（1）以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系． …（1分）
由题意可知C（0，0，0），P（2，0，1），Q（1，1，0），B1（0，2，2），…（4分）
则
PQ
＝(−1，1，−1)，
CQ
＝(1，1，0)，
B1Q
＝(1，−1，−2)
又因为
PQ
•
CQ
＝0，，
PQ
•
B1Q
＝0，∴PQ⊥CQ，PQ⊥B1Q，…（6分）∴PQ⊥平面B1CQ …（7分）
（2）由题意可知C1（0，0，2），A1（2，0，2），
设平面A1C1Q的一个法向量为
n
＝(x，y，z)
则由
n•C1A1＝0n•C1Q＝0
⇒
x＝0x+y＝2z
，∴平面A1C1Q的一个法向量
n
可以是（0，1，2）…（11分）
又由（1）可知
PQ
＝(−1，1，−1)是平面B1CQ的一个法向量．…（12分）
设平面B1CQ和平面A1C1Q所成锐二面角为α，则cosα＝|
PQ•n|PQ||n|
|＝
1515
，
∴平面B1CQ和平面A1C1Q所成锐二面角的大小为arccosα＝arccos
1515
…（14分）

Answer 2

(1)∵ac=bc，∠acb是直角，q是ab中点
∴ab垂直于qc
∵次三棱柱是直三棱柱
∴ab垂直于cc1
∴ab垂直于面qcc1