Question

高等数学中无穷级数收敛的题目

问题我写在第二张图片里了，麻烦各位老师点开看一下

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Answer 1

写了一堆，竟然没了，哎，重新写

我看了你的问题，你也问在点儿上了，其实那个标准答案写的都有点多余
为什么别人会想到加绝对值号呢？？
恩，你有名没有发现，书上专门讲了一节级数收敛的判别法则——是专门针对正项级数！！！

对于一般的常数项级数怎么办？？
任何一个级数{Un}，把通项加绝对值{|Un|}是不是就变成正项级数了！

那么对{|Un|}这个正项级数，你用比值判别法，可以判断出正项级数{|Un|}收敛，即{Un}这个级数就是绝对收敛的！

而书上有一个定理，“如果一个级数绝对收敛，那么他本身也肯定是收敛的”！

嘿嘿，书上在讲完正项级数判别法后，有了这么个定理，你就可以通过把通项加绝对值变成正项级数，然后用正项级数判别法，判断原级数是是否绝对收敛，如果绝对收敛，那本身必然收敛，如果不是绝对收敛的，那么也不能说明原级数就不收敛，只是你要想别的办法喽——}

Answer 2

根据这个极限，很自然联想到比值法，但是这里的级数没有点明是正项级数。根据极限的保号性，当n充分大时，U(n+1)/Un＞0，所以Un＞0或Un＜0。所以，去掉前有限项后Un恒大于零或小于零。如果Un＞0，由比值法直接得到级数发散。如果Un＜0，考虑通项是-Un的正项级数，其发散，所以原级数也发散。

追问

Un＜0这种情况麻烦你再仔细说说，我没看太懂，-Un发散，但Un<-Un，由-Un发散不能推出Un发散吧？

追答

还是级数的性质，级数∑k*Un与∑Un的收敛性是一样的，当k≠0时。