Question

x^2+x+a可被x-a整除,求a的值。

Answer 1

整除即表示x^2+x+a可分解为含有x-a因式的表达式, 即x^2+x+a因式分解后, 因式中含有x-a.
如果用待定系数法, 容易出现问题的是"0*x=0"这样的恒等式问题. 具体来说,
1) 设(x-a)(x+b)=x²+x+a, 整理得到x²+(b-a)x-ab=x²+x+a;
2) 对比系数, 得到b-a=1且-ab=a;
问题就出现在-ab=a应该分a=0, 和a≠0讨论.
若a=0, 从-ab=a得出b=任意数, 从b-a=1得出b=1
若a≠0, 从-ab=a得出b=-1, 从b-a=1得出a=-2
也就是a有两个值, a=0 和 a=-2 可以满足.
可以用长除法验证.x^2+x+a可以写成 (x-a)*q(x)+r(x)的形式. 其中q(x)是商式, r(x)是余式. 只要得到r(x)后, 令余式r(x)等于0, 那么x^2+x+a=(x-a)*q(x)就存在整除关系.
长除法这里输入格式不方便, 我直接写结果 x^2+x+a = (x-a)(x+a+1) + a(a+2). 这样要使a(a+2)=0, a有两个解a=0, a=-2.
忽略a=0这个情况, 是很多初中生最容易犯的标准错误答案.

Answer 2

设(x-a)(x+b)=x²+x+a;
x²+(b-a)x-ab=x²+x+a;
b-a=1;
-ab=a;
∴b=-1;
a=-2;

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