Question

已知函数f(x)=x2+ax ,x<0 ln(x+1)x>0若函数F(x)=2f(x)-x 有2个零点,则实数a的取值范围

Answer 1

• f(x)=x²+ax   x<0

  f(x)=ln(x+1) x≥0

• F(x)=2x²+(2a-1)x   x<0  ①

  F(x)=ln(x+1)²-x      x≥0  ②

  F'(x)=4x+2a-1        x<0  

  F'(x)=(1-x)/(x+1)    x≥0  

  ②驻点x=1，左+右-，为极大值点 极大值 F(1)=ln4-1>0 F(0)=0 F(e²-1)=5-e²<0

  ∴x∈(1,e²-1)之间有一个零点。

  F(x)有2个零点→①无零点

  ①对称轴x=-(2a-1)/4≥0→a≤½时，开口向上，所属区间均在的对称轴的左侧，单调递减，F(x)>F(0)=0,无零点

  a>½时,区间包含对称轴，顶点为最小值=(2a-1)²/8-(2a-1)(2a-1)/4>0 恒不成立

  ∴实数a的取值范围a∈(-∞,½]