Question

证明 (1)函数f(x)=x2+1在(-无限，0)上是减函数

证明
(1)函数f(x)=x2+1在(-无限，0)上是减函数
(2)函数f(x)=1-1/x在(-无限，0)上是增函数
3 探究一次函数y=mx+b(x属於R)的单调性，并证明你的结论

Answer 1

解：
（1）任取x1、x2∈（-∞，0），令x1<x2（x1,x2中1，2为角标）
则f(x1)-f(x2)
=x1^2+1-（x2^2+1）
=x^12-x2^2
(x1+x2)(x1-x2)
因为x1、x2∈（-∞，0）且x1<x2
所以x1+x2)(x1-x2)>0
即f(x1)-f(x2)>0又 x1<x2
则f(x)=x^2+1在（-∞，0）上是减函数（该法即是证明函数单调性的方法）
（2）可以用类似方法证明
（3）任取x1、x2∈R，令x1<x2
则f(x1)-f(x2)
=mx1+b-(mx2+b)
=m(x1-x2)
当m=0时，y=mx+b为常数y=b在R上不单调
当m>0时，f(x1)-f(x2)<0又x1<x2，则其在R上单调递增
当m<0时，f(x1)-f(x2)>0又x1<x2,则其在R上单调递减
综上：m=0，y=mx+b为常数y=b在R上不单调
m>0，y=mx+b在R上单调递增
m<0，y=mx+b在R上单调递减
（这些是函数单调性的定义法证明的，等到高三你们学了导数，做起来会更快的）