Question

线性代数方程组求解

Answer 1

系数矩阵的各行元素之和相等，都是a+(n-1)b，所以把系数行列式的第二列到第n列都加到第一列上，第一列提取公因子a+(n-1)b。然后第一行乘以-1加到下面各行，行列式化为上三角行列式，系数行列式D=[a+(n-1)b](a-b)^(n-1)。
当D≠0，即a≠b且a≠(1-n)b时，方程组只有零解。
当D=0，即a=b或a=(1-n)b时，方程组有无穷多解。

a=b时，各个方程是一样的，消去b后都是x1+x2+...+xn=0，所以x1=-x2-x3-...-xn，所以，基础解系是(1,-1,0,...,0)'，(1,0,-1,...,0)'，(1,0,0,...,-1)'，通解是x=k1(1,-1,0,...,0)'＋k2(1,0,-1,...,0)'+.......+k(n-1)(1,0,0,...,-1)'。

a=(1-n)b时，第一个方程是(1-n)x1+x2+...+xn=0，即x1+x2+...+xn=n*x1。第二个方程化为x1+x2+...+xn=n*x2，.....，第n个方程化为x1+x2+...+xn=n*xn，所以x1=x2=...=xn。所以，基础解系是(1,1,1,...,1)'，通解是x=k(1,1,1,...,1)'。

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以上 ' 代表转置。