Question

一元二次方程例题、过程

不要应用题 越多越好

Answer 1

二、例题精讲： 　　例1．不解方程，判断下列方程的根的情况：
　　(1)2x2+3x-4=0　　　　 (2)3x2+2=2 x
　　(3) x2+1= x　 　(4)ax2+bx=0(a≠0)
　　(5)ax2+c=0(a≠0) 　　分析；一元二次方程的根的情况是由Δ=b2-4ac的符号决定的，所以，在判断一元二次方程根的情况时，应想尽办法判断出“Δ”的符号，然后根据判别式定理判定根的情况。尤其是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“Δ”化成完全平方式或完全平方式加上（或减去）一个常数，再根据完全平方式的非负性判断“Δ”的符号，从而决定方程的根的情况，有时还需要对字母进行讨论。 　　解：(1) 2x2+3x-4=0
　　a=2, b=3, c=-4,

　　∵Δ=b2-4ac
　　 　=32-4×2×(-4)=41>0
　　∴方程有两个不相等的实数根。 　　（2）将方程化为一般形式
　　3x2-2 x+2=0
　　a=3, b=-2 ,c=2
　　∴Δ=b2-4ac=(-2 )2-4×3×2=0,
　　∴方程有两个相等的实数根。 　　（3）将方程化为一般形式
　　 x2- x+1=0
　　方程两边同乘以2（为了计算简便），得
　　 x2- x+2=0
　　a= , b=- , c=2
　　∵Δ=(- )2-4× ×2
　　=2-8 <0
　　∴方程没有实数根。 　　（4）ax2+bx=0(a≠0)
　　∵a≠0, ∴方程是一元二次方程，
　　此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零，
　　∵Δ=b2-4·a·0=b2,
　　∵无论b取任何实数，b2均为非负数，
　　∴Δ≥0，
　　故方程有两个实数根。 　　（5）ax2+c=0 (a≠0)
　　∵a≠0,
　　∴ 此方程是缺少一次项的不完全的一元二次方程，一次项系数b=0
　　∵Δ=02-4ac
　　　　=-4ac 　　需要讨论a,c的符号，才能确定Δ的符号；
　　当c=0时，Δ=0, 方程有两相等实根；
　　当a与c异号时，Δ>0, 方程有两不等实根；
　　当a与c同号时，Δ<0，方程没有实数根。 　　注意：运用根的判别式判定一元二次方程根的情况时，必须先把方程化为一般形式，正确地确定各项系数。 　　例2．求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。 　　分析：先求出关于x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。 　　证明：
　　Δ=(-2m)2-4(m2+1)(m2+4)
　　　=4m2-4(m4+5m2+4)
　　　=-4m4-16m2-16=-4(m4+4m2+4)
　　　=-4(m2+2)2
　　∵ 不论m取任何实数(m2+2)2>0,
　　∴ -4(m2+2)2<0, 即Δ<0.
　　∴ 关于x的方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。 　　小结：由上面的证明认清证明的格式归纳出证明的步骤：
　　（1）计算Δ
　　（2）用配方法将Δ恒等变形
　　（3）判断Δ的符号
　　（4）结论 　　其中难点是Δ的恒等变形，一般情况下配方后变形后为形如：a2,a2+2,(a2+2)2, -a2, -(a2+2)2的代数式，从而判定正负，非负等情况。 　　方程配方与代数式配方既有联系又有区别：方程配方是对方程进行同解变形，代数式配方是恒等变形，因此方程变形中两边除以二次项系数，而在代数式变形中为提取二次项系数。方程变形中等号两边同时加上一次项系数一半的平方，而在代数式变形中加上一次项系数一半的平方的同时，还需减去一次项系数一半的平方，以保证代数式恒等。