Question

【线性代数】设A=[111,111,111],求矩阵A的特征值和特征向量

Answer 1

P=(P1，P2,P3)^t,
P^(-1)=
-1.1.0
1..-1.1
0.1.-1
Λ^5=diag（32.-32.1）
P^(-1)AP=Λ=diag(2.-2.1)
A=PΛP^(-1)
A^5=PΛ^5P^(-1)
带入求解得
A^5=
-32.33.-33
-64.65.-33
-64.64.-32

Answer 2

设A的特征值为λ
则|A-λE|=
1-λ 1 1
1 1-λ 1
1 1 1-λ 第1行加上第2行，第1行加上第3行
=
3-λ 3-λ 3-λ
1 1-λ 1
1 1 1-λ
=
1 1 1 * 3-λ
1 1-λ 1
1 1 1-λ 第2行减去第1行，第3行减去第1行
=
1 1 1 * 3-λ
0 -λ 0
0 0 -λ
=(3-λ)λ²=0

解得
λ=0，0，3

当λ=0时，
A-0E=
1 1 1
1 1 1
1 1 1 第2行减去第1行，第3行减去第1行
～
1 1 1
0 0 0
0 0 0
得到特征向量(1,-1,0)^T，(1,0,-1)^T

当λ=3时，
A-3E=
-2 1 1
1 -2 1
1 1 -2 第1行加上第2行×2，第3行减去第2行
～
0 -3 3
1 -2 1
0 3 -3 第3行加上第1行，交换第1和第2行
～
1 -2 1
0 -3 3
0 0 0 第2行除以-3，第1行加上第2行×2
～
1 0 -1
0 1 -1
0 0 0
得到特征向量(1,1,1)^T
于是
A的特征值为0，0，3
对应的特征向量为(1,-1,0)^T，(1,0,-1)^T，(1,1,1)^T