Question

设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、a、b ∈P（除数b≠0），则称P是

设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、a、b ∈P（除数b≠0），则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；求证设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、a、b ∈P（除数b≠0），则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；求证
（1）数域必为无限集；
（2）数域必含有0和1两个数
"根据数据的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集 "不要用这句回答。我是初学者，刚刚接触。
还有a=b，不就与集合互异性矛盾了吗？？？

Answer 1

（1）数域必为无限集；
证：设a∈P，a≠0，
则 a+a=2a≠a，由数域定义，2a∈P，且为不同于a的元素，
同理：2a+a=3a，3a∈P，且为不同于a、2a的元素，
由此可推得，对任意n∈N，有na∈P，
故，数域包含无限多元素，必为无限集。

（2）
证：设P为一个数域，对其中任意一个非零元素a∈P，a≠0，
由数域定义，有：
0=a-a∈P，
1=a/a∈P，
即：数域必含有0和1两个数。

追问

a+a怎么来的

追答

由数域定义，对任意a、b∈P，都有a+b∈P，这里并没有限制a不等于b，因此取b=a时即有前面的证明过程。