Question

求助几道初三数学题

1)在圆形O中，EF是直径，MN是圆形O上的一条弦（EF不平行于MN），且EF=10， MN=8，则E，F两点到直线MN的距离之和为什么？
2）△ABC的三个顶点都在圆形O上，I是△ABC角平分线的交点，且AI的延长线交圆形O于点D，求证：BD=CD=DI
3）梯形ABCD的四个顶点都在圆形O上，AB//CD， 圆形O的半径为4，AB=6，CD=2，求梯形ABCD的面积

Answer 1

                                                 图1

1. 如图1圆O，EF为直径等于10，MN为弦长为8，EF与MN不平行。

   过E点做MN垂线交MN延长线于H，过F点做MN垂线交MN延长线于K点。

   设A为MN的中点，连接OA，OM，ON。

   ∵MN为圆O上的弦，A为MN的中点

   ∴OA垂直平分MN

   ∵EH⊥MN，FK⊥MN

   ∴EH//FK//OA

   又∵OE=OF

   ∴四边形FKHE为梯形，OA为要上的中位线

   ∴EH+FK=2OA

   ∵OA²=OM²-AM²，OM=EF/2=5，AM=MN/2=4

   ∴OA=3

   ∴EH+FK=2OA=6

   ∴E，F两点到直线MN的距离之和为6 。

    

   

                                                      图2

2. 如图2圆O，△ABC内接于圆O，I为三角形角平分线交点，AI延迟线交圆与D点，连接CI。

   ∵I是角平分线交点

   ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC/2

   ∴BD=CD(同圆中，弦长相等对应的圆周角相等，反之亦然)    ⑴

   ∴∠CBD=∠BCD=∠BAC/2

   ∵∠ICB=∠ACI=∠ACB/2

   ∴∠ICD=∠ICB+∠BCD=∠BAC/2+∠ACB/2=(∠BAC+∠ACB)/2  ①

   ∵弦AC对应的两个圆周角∠ABC与∠ADC相等，即∠ABC=∠IDC

   ∵∠ABC，∠BAC，∠ACB同在一个三角形中

   ∴①式变为：∠ICD=(180°-∠ABC)/2=(180°-∠IDC)/2，即∠IDC=180°-2∠ICD，也即∠ICD=∠CID，△IDC为等腰三角形

   ∴DI=CD  ⑵

   ∴BD=CD=DI

    

   

                                                         图3

1. 如图3所示：

   ∵CD和AB均为圆中的弦，且AB//CD

   ∴连接AB中点F和CD中点E，EF经过圆心O，且EF⊥AB，即EF为梯形的高

   ∴当AB与CD位于圆心同一侧是，梯形高h=OE+OF；  ①

       当AB与CD位于圆心两侧是h=OE-OF  ②

   ∵OE²=OD²-ED²，OF²=OB²-FB²，OD=OB=R=4，ED=CD/2=1，FB=AB/2=3

   ∴OE=√15，OF=√7

   ∴①  h=√15+√7  ②h=√15-√7

   ∴S=h*(2+6)/2=4*(√15+√7)   ①

           S=4*(√15+√7)  ②

追问

请问你的图是用什么软件画的？

追答

用AUTOCAD画的

Answer 2

1).解：作OG⊥MN于G,则G为MN的中点，连ON,

则ON为半径=5，GN=4,于是OG=3.

    作FQ⊥MN并交MN的延长线于Q, 作EP⊥MN并交

NM的延长线于P,则FQ、EP分别为F、E到MN的距离。

而它们也是直角梯形EPQF的上下底，而OG则是该梯形

的中位线，于是有:FQ+EP=2OG=2*3=6.即所求的距离之和为6。   

2）解：∵AD平分角A,∴ ∠CAD=∠BAD. ∴CD弧=BD弧，所以，CD=BD.

延长CI与圆交于E,则∠ACE=∠BCE,,,,,, ①  

又∠BAD=∠BCD,,,,,,②,等式两边分别相加,右边得：

∠BCD+∠BCE=∠DCI.

左边得：∠BAD+∠ACE=∠CAD+∠ACI=∠CAI+∠ACI=∠CID.

从而有：∠DCI=∠DIC, ∴CD=DI,即BD=CD=DI.

3)解：作OE⊥AB于E,连OB,则在直角三角形OEB中，

OB=4,BE=3,于是OE=√(4^2-3^2)= √7.

作OF⊥CD于F,连OD,则在直角三角形ODF中，

OD=4,DF=1,于是OF=√(4^2-1^2)= √15.

而EF=OE+OF=√7+√15是梯形ABCD的高，所以

梯形ABCD的面积=（6+2）*（√7+√15）/2=4(√7+√15)

Answer 3

（1）解：所求即为中位线（求圆心到MN的距离的两倍）
过O作MN的垂线,垂足为P，连接OM，
根据勾股定理即得OM^2=OP^2+PM^2
求出OP，圆心到MN距离为√(5^2-4^2)=3
EF到MN距离为3*2=6

（2）证明：∵A、B、D、C共圆，又∠BAD＝∠CAD，
∴DB＝DC。
∵A、B、D、C共圆，
∴∠DBC＝∠CAD＝∠BAD，又∠CBI＝∠ABI，
∴∠DBC＋∠CBI＝∠BAD＋∠ABI，
∴∠DBI＝∠BAD＋∠ABI＝∠BID，
∴DB＝DI。
∵DB＝DC、DB＝DI，
∴DB＝DC＝DI。

（3）解：过圆心O作OM⊥AB于M，并延长交CD于N，连接OA、OC
∵OM⊥AB
∴AM＝BM＝AB/2＝3 （垂径分弦）
∴OM＝√（AO²-AM²）＝√（16-9）＝√7
∵AB∥CD
∴ON⊥CD
∴CN＝CD/2＝1
∴ON＝√（CO²-CN²）＝√（16-1）＝√15
当AB、CD位于圆心O的两侧时：
MN＝ON+OM＝√15+√7
S梯形＝（AB+CD）×MN/2＝8×（√15+√7）/2＝4（√15+√7）
当AB、CD位于圆心O的一侧时：
MN＝ON-OM＝√15-√7
S梯形＝（AB+CD）×MN/2＝8×（√15-√7）/2＝4（√15-√7）