Question

求证:1+1/2²+1/3²+……+1/n ²（n ∈N ）

Answer 1

证：
（1）
∵1/2²<1/(2²-1)=1/2*(1-1/3)；
1/3²<1/(3²-1)=1/2*(1/2-1/4)；
1/4²<1/(4²-1)=1/2*(1/3-1/5).......
1/(n-1)²<1/[(n-1)²-1]=1/2*[1/(n-2)-1/n]；
1/n²<1/(n²-1)=1/2*[1/(n-1)-1/(n+1)]；
∴ 1/1²+1/2²+1/3²+.......+1/(n-1)²+1/n²<
1+1/2[1-1/3+1/2-1/4+1/3-1/5+1/4-1/6.......+1/(n-2)-1/n+1/(n-1)-1/(n+1)]=
1+1/2*[1+1/2-1/(n-1)-1/(n+1)]<1+1/2[1+1/2]=1+3/4=7/4

即：
1+1/2²+1/3²+……+1/n ²〈7/4（n ∈N ）
（2）
用数学归纳法证明：1 + 1/2² + 1/3² + …… + 1/n² ≥ 3n / (2n+1) （其中：n ∈N ）
(1) 当 n=1时 左端 = 1 右端 = 3/3 = 1， 因为 1 ≮1 ，所以≥成立；
(2) 假设 当n = k时等式成立，即
1 + 1/2² + 1/3² + …… + 1/n² ≥ 3n / (2n+1) ①
则当n=k+1时，要证下式也成立
1 + 1/2² + 1/3² + …… + 1/n² + 1/(n+1)² ≥ 3(n+1) / (2(n+1)+1) = 3(n+1) / (2n+3)
由假设，
1 + 1/2² + 1/3² + …… + 1/n² + 1/(n+1)²
= [1 + 1/2² + 1/3² + …… + 1/n² ] + 1/(n+1)²
≥ 3n / (2n+1) + 1/(n+1)² （这步是由①式而来)
下面只要证明 3(n+1) / (2n+3)－3n / (2n+1) ≤ 1/(n+1)² （贰）
事实上，
3(n+1) / (2n+3)－3n / (2n+1) = 3 / [(2n+3) *(2n+1)] = 3/(4(n+1)²-1)
1/(n+1)²－3/(4(n+1)²-1)=(4(n+1)²-1－3(n+1)²)/((n+1)²(4(n+1)²-1))
=((n+1)²-1)/((n+1)²(4(n+1)²-1))
当n ∈N时，
(n+1)²≥1，因此(n+1)²-1≥0，
又4(n+1)²-1≥15〉0，因此(n+1)²(4(n+1)²-1)≥0，
从而：1/(n+1)²≥3/(4(n+1)²-1)=3(n+1) / (2n+3)－3n / (2n+1)
即：当n=k+1时，（贰）式成立；
故，对于一切自然数 都有1 + 1/2² + 1/3² + …… + 1/n² ≥ 3n / (2n+1) 成立。

不知你要的是哪个，都列出来供你参考。