Question

设α1，α2，β1，β2均为3维向量，且α1，α2相性无关，β1，β2线性无关，存在非零向量γ，使得γ即可

答案是γ=k【0,1,1】^T 怎么得出的呢？？
证明: 因为4个3维向量构成的向量组α1,α2,β1,β2线性相关
所以存在不全为0的数 k1,k2,k3,k4 满足
k1α1+k2α2+k3β1+k4β2=0
令 k1α1+k2α2=-k3β1-k4β2=γ.
则 γ≠0 (否则由已知得 k1,k2,k3,k4全为0.)
所以存在非零向量γ可由两个向量组线性表示.

(α1,α2,β1,β2) =
1 2 -3 0
0 -1 2 1
2 3 -5 1

r3-2r1
1 2 -3 0
0 -1 2 1
0 -1 1 1

r1+2r2,r3-r2,r2*(-1)
1 0 1 2
0 1 -2 -1
0 0 -1 0

r1+r3,r2-2r3,r3*(-1)
1 0 0 2
0 1 0 -1
0 0 1 0

所以 γ = 2cα1-cα2 = 0β1+cβ2, c为任意常数.

您的答案最后一步怎么由矩阵行列式得到的解呢？

Answer 1

看这4列之间 的关系 或 齐次线性方程组 (α1,α2,β1,β2)X=0 的解

追问

麻烦能再详细些吗？这里的不太懂

追答

齐次线性方程组 (α1,α2,β1,β2)X=0 的通解为 c(-2,1,0,1)^T = (-2c,c,0,c)^T

所以 γ = 2cα1-cα2 = 0β1+cβ2

追问

你好，通解那步明白了，请问通解和最后求的向量之间为什么这样表示？

追答

你看看前面的说明部分
k1α1+k2α2+k3β1+k4β2=0
令 k1α1+k2α2=-k3β1-k4β2=γ.

取 (k1,k2,k3,k4) = -(-2c,c,0,c) 即得

追问

噢，十分感谢，太细心了。那最后的结果系数写成-2k1 k2也可以了？

追答

不是 可以写为 k1=-2c, k2=c, ...

Answer 2

你的题目似乎不完整？你要求r什么？存在r，还是啥？

追问

既可由α1α2线性表示又可由β1β2线性表示，解答在下面，我不理解最后一步

追答

楼上解答是r=0情况，如果r是任意的，这上面显然不应该适用于齐次方程求根方法，这个解法有点怪异