关于导数的题目

关于导数的题目求第二问的答案步骤... 关于导数的题目求第二问的答案步骤 展开
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crs0723
2017-02-20 · TA获得超过2.5万个赞
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(1)因为g(x)在R上连续
所以g(x)在x=0点上连续
即lim(x->0)g(x)=g(0)
lim(x->0)f(x)/x=a
因为f(x)在R上二阶导数连续,且f(0)=0
所以根据洛必达法则,lim(x->0)f'(x)=a
a=f'(0)
(2)因为g(x)在R上一阶导数连续,所以g(x)在R上连续,由上题结论,可得确定的a值为f'(0)
因为当x≠0时,g(x)=f(x)/x,g'(x)=[xf'(x)-f(x)]/x^2,显然g'(x)在x≠0上连续
现在证明当a=f'(0)时,g'(x)在x=0点上连续
g'(0)=lim(t->0) [g(t)-g(0)]/t
=lim(t->0) [f(t)/t-f'(0)]/t
=lim(t->0) [f(t)-tf'(0)]/t^2
=lim(t->0) [f'(t)-f'(0)]/2t
=f''(0)/2
因为lim(x->0) g'(x)=lim(x->0) [xf'(x)-f(x)]/x^2
=lim(x->0) [f'(x)+xf''(x)-f'(x)]/2x
=lim(x->0) f''(x)/2
=f''(0)/2
=g'(0)
所以当a=f'(0)时,g'(x)在x=0点上连续
即g(x)在R上一阶导数连续
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