Question

如何理解任何一个方向导数都存在却不可微的二元函数

Answer 1

我是这样理解的：可微意味着在这点的所有的趋向方式下导数都存在。任意方向导数都存在只能说明在这点的所有以过该点的直线的趋向方式下的导数存在，不能说明所有的趋向方式下导数都存在，即所有过该点的直线的趋向方式不能代表所有的趋向方式。
比如，我遇到过有的二元极限令y=kx代进去，极限值是存在的且与k的取值无关，但令y=kx^2代进去，极限值就与k的取值有关了，故原极限不存在。由此可以说明这点：所有过该点的直线的趋向方式不能表示所有的趋向方式。

Answer 2

首先，对于二元函数可微的充要条件是△y=fx (x,y)dx+fy (x,y)dy+o(ρ),这个若成立则函数关于x和y的偏导数必定存在。现在如果已知任何一个方向导数存在，并不能推出关于x和y偏导数存在，因为根据方向导数定义其导数只能代表函数其中一侧的导数，而偏导数必定要左右两侧导数相等才可存在。综上则不可推出。

Answer 3

存在2个方向的方向导数不相等.那么就不可微