Question

数学问题，求高手，要详细

求过两圆x平方+y平方+6x-4=0和x平方+y平方+6y-28=0交点，且圆心在直线x-y-4=0上的圆方程

Answer 1

圆1：(x+3)²+y²=13，圆心M的坐标为(-3,0)

圆2：x²+(y+3)²=37，圆心N的坐标为(0,-3)

联立两圆的方程，可求得两圆交点坐标A(-6,-2），B(-1,3)

设所求圆圆心为点P，由于弦AB为圆1、圆2及所求圆的公共弦，根据相交圆的性质，圆1与圆2的圆心连线MN与弦AB垂直，圆1与所求圆的圆心连线MP也与弦AB垂直，所以点P在直线MN上。

由两点式，直线MN的方程为y/(x+3)=-3/3，即x+y+3=0

又已知点P在直线x-y-4=0上，联立两直线方程，可求得点P坐标(1/2,-7/2)

由两点间的距离公式，|BP|²=89/2

故所求的方程为(x-1/2)²+(y+7/2)²=89/2

Answer 2

两种方法：
1.【最通常的方法】
因为，
x²+y²+6x-4=0
x²+y²+6y-28=0
有两式相减可得两圆交线：y=x+4
代入得x²+7x+6=0
所以，两圆交点横坐标为x1=-1,x2=-6
所以，两圆交点(-1,3)，(-6,-2)
所以，解得垂直平分线方程为y=-x-3
与x-y-4=0联立得
圆心为(1/2,-7/2)
半径为r=√[(1/2+1)²+(-7/2-3)²]=√178/2
所以，(x-1/2)²+(y+7/2)²=178/4
即x²+y²-x+7y-32=0

2【高级点的方法】
经过两圆x²+y²+6x-4=0和x²+y²+6y-28=0的圆系方程为
x²+y²+6x-4+λ(x²+y²+6y-28)=0（不包括x²+y²+6y-28=0）
整理得到(1+λ)x²+(1+λ)y²+6x+6λy-4-28λ=0
圆心坐标为(-3/(1+λ),-3λ/(1+λ))
所以，圆心在直线x-y-4=0
即-3/(1+λ)+3λ/(1+λ)-4=0
λ=-7
所以，代入圆系方程x²+y²-x+7y-32=0

Answer 3

1 两圆相减 的一直线方程 即为过两圆交点的直线方程
2 根据刚才得的方程 得到垂直于他的直线的斜率 和两圆交点的中点
3 再设圆心
即可求解

Answer 4

先求两圆的交点，再设圆的方程，带入，之后的嘛。。。。呵呵

Answer 5

设圆心为（a，a-4）
求两圆交点，联立求解得（-1，3）（-6，-2）