Question

在平面直角坐标系xOy中,已知二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象顶点为D……

在平面直角坐标系xOy中,已知二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象顶点为D,与y轴交于点C,与X轴交于A、B(A在原点的左边)点B(3,0),OB=OC。
TAN∠AOC=1/3
1）求这个二次函数的解析式
2)若平行于X轴的直线与该抛物线交于M、N，且以MN为直径的圆于X轴相切
求该圆的半径

Answer 1

解：将B点代入方程0=9a+3b+c;令x=0；代入得到C(0,c),|0B|=3,|OC|=c,所以
c=-3;tan<AOC=|OA|/3,所以|OA|=1，得到A(-1,0);代入方程得0=a-b-3；解得
a=1;b=-2;
(1)方程解析式为：y=x^2-2x-3;
(2)设MN方程为y=n;与抛物线相交，代入抛物线，n=x^2-2x-3;有两交点，则韦达=4-4*(-3-n)>0;n>-4;
MN中点坐标设为D(m,n),则m=2/2=1,(方程两根之和/2)，D点就是圆心，n为圆半径,所以|n|=|MN|/2；|MN|^2=(x1-x2)^2=x1^2-2x1x2+x2^2=4n^2;(1)

(x1+x2)^2=x1^2+x2^2+2x1x2=4;(2)

x1x2=-3-n;(3)代入(1)解得x1^2+x2^2=4n^2-6-2n
代入(2)解得x1^2+x2^2=10+2n;再代入上式，得到4n^2-6-2n=10+2n
n^2-n-4=0;n=（1+根号17）/2；或（1-根号17）/2
所以半径=|n|=（1+根号17）/2或(（根号17）-1）/2;