Question

已知定义在实数R上的函数y=f（x）不恒为零，同时满足f（x+y）=f（x）f（y），且当x＞0

已知定义在实数R上的函数y=f（x）不恒为零，同时满足f（x+y）=f（x）f（y），且当x＞0时，f（x）＞1，那么当x＜0时，一定有
A. f（x）＜-1
B. -1＜f（x）＜0
C. f（x）＞1
D. 0＜f（x）＜1

Answer 1

"答案D
分析：根据f（x+y）=f（x）of（y）恒成立，考虑取x=0代入，可得f（0）=1，再取x=-y，可得f（-y）=\frac{1}{f(y)}，再结合条件
x＞0时，有0＜f（x）＜1，经过变形化简可得x＜0时，0＜f（x）＜1成立．
解答：对任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）of（y），
可令x=1，y=0 可得 f（0+1）=f（0）．f（1）
因为当x＞0时，f（x）＞1，故f（1）＞1＞0
所以 f（0）=1
再取x=-y，可得f（0）=f（-y+y）=f（-y）of（y）=1
所以f（-y）=\frac{1}{f(y)}，同理得f（-x）=\frac{1}{f(x)}，
当x＜0时，-x＞0，根据已知条件得f（-x）＞1，即\frac{1}{f(x)}＞1
变形得0＜f（x）＜1；
故选D．
点评：本题主要考查抽象函数的函数值和取值范围的求解，属于中档题．解决问题的关键是赋值和构造，注意构造的技巧在解决本题中的应用．"