Question

已知椭圆P的中心O在坐标原点，焦点在x轴上，且经过A(0,2根号3，离心率1/2

1.求椭圆P的方程
2.是否存在过点E(0,-4)的直线l交椭圆P于点R,T且满足OR垂直OT，若存在求l方程

Answer 1

1.依题意，b=2√3，
c/a=1/2,a=2c,b^2=a^2-c^2=3c^2=12,c=2,a=4,
∴椭圆P的方程是x^2/16+y^2/12=1.①
2.设l的方程为y=kx-4,②
把②代入①，3x^2+4(k^2x^2-8kx+16)=48,
(3+4k^2)x^2-32kx+16=0,
设交点R(x1,y1),T(x2,y2),则
x1+x2=32k/(3+4k^2),x1x2=16/(3+4k^2).
由②，y1y2=(kx1-4)(kx2-4)=k^2x1x2-4k(x1+x2)+16,
OR⊥OT,
<==>0=x1x2+y1y2
=(1+k^2)x1x2-4k(x1+x2)+16
=[16(1+k^2)-128k^2+48+64k^2)]/(3+4k^2)
=(64-48k^2)/(3+4k^2),
∴k^2=4/3,k=土2√3/3，
∴l的方程是y=(土2√3/3)x-4.