Question

设f（x）是定义在R上的一个增函数，F（x）=f（x）-f（-x），那么F（x）为

A. 增函数且是奇函数
B. 增函数且是偶函数
C. 减函数且是奇函数
D. 减函数且是偶函数

Answer 1

答案A
分析：用定义验证奇偶性，再根据单调性的判断规则确定函数的单调性即可
解答：∵F（x）=f（x）-f（-x），∴F（-x）=f（-x）-f（x）=-[f（x）-f（-x）]=-F（x），∴F（x）必定是奇函数．
又f（x）是定义在R上的任意一个增函数，由复合函数的单调性知f（-x）是定义在R上的任意一个减函数，
故f（x）-f（-x）是一个增函数
故F（x）为增函数且为奇函数
故选A
点评：题考查函数奇偶性的判断以及函数单调性的判断，属于函数性质中的基本题型．题目难度较小，其中判断函数的单调性用上了判断规律，要注意总结规律．