Question

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已知O是锐角三角形ABC的外接圆的圆心,角A,B,C的对边分别为a,b,c, 且A=∏/4,
若cosB/sinC*向量AB+cosC/sinB*向量AC=2m*向量AO,则m=？

Answer 1

解：取AB中点D，则有 AO = AD + DO ，
代入cosB /sinC AB +cosC/ sinB AC =2m AO 得：
cosB/ sinC AB +cosC/ sinB AC =2m( AD + DO )，
由 OD ⊥ AB ，得 DO • AB =0，
∴两边同乘 AB ，化简得：
cosB /sinC AB • AB +cosC/ sinB AC • AB =2m( AD + DO )• AB =m AB • AB ，
即cosB /sinC c2+cosC/ sinB bc•cosA=mc2，
由正弦定理a/ sinA =b/ sinB =c/ sinC 化简得：
cosB/ sinC* sin^2C+cosC /sinB* sinBsinCcosA=msin^2C，
由sinC≠0，两边同时除以sinC得：cosB+cosAcosC=msinC，
∴m=[cosB+cosAcosC]/ sinC =[-cos(A+C)+cosAcosC]/ sinC=[-cosAcosC+sinAsinC+cosAcosC ]/sinC =sinA，
又∠A=Pai/4，
则m=sinPai/4=根号2/2．

Answer 2

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