Question

一道大学级数题，求详细解答

疑问(1)1/n<=1/2^(n-1）为什么
（2）帮忙完成剩下的解答，谢谢
图发错了，注意区别

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Answer 1

设f(x)=x-2^(x-1) (x≥0)
求导后可知f‘(x)>0
此函数在x≥0时为增函数
则最小值为f(1)=0
故x≥2^(x-1) ，即1/n≤1/2^(n-1).
又因为通项为1/n的级数为发散级数，
根据比较判别法可知
所求级数为发散级数。

追问

不对是我打错了，1/n^n<=1/2^(n-1）

追答

设f(x)=㏑[x^x/2^(x-1)]=x㏑x-(x-1)㏑2 (x≥1)
求导 f‘(x)=㏑x+1-㏑2>0 (x≥1) 即为增函数
最小值为f(1)=0，
则有f(1)≥0，即x^x/2^(x-1)≥1
之后就一样了

追问

这是不是一般做法，感觉这个不大容易想到

追答

设f(x)=㏑[x^x/2^(x-1)]=x㏑x-(x-1)㏑2 (x≥1)
求导 f‘(x)=㏑x+1-㏑2>0 (x≥1) 即为增函数
最小值为f(1)=0，
则有f(1)≥0，即x^x/2^(x-1)≥1
又因为通项为1/2^(n-1)的级数为收敛级数，
根据比较判别法可知
所求级数为收敛级数。

一般有n次方的首先想到根值判别法
即第n项开n次方，开出来就是1/n了，其极限为0，小于1
所以级数收敛。

Answer 2

这个题目其实很简单，解答见图：