Question

关于二阶常系数非齐次线性微分方程求特解y*形式的题目我非常的混乱

关于二阶常系数非齐次线性微分方程求特解y*形式的题目我非常的混乱。太难记忆了！！！
1；问题一：何时使用y*=y*1+y*2方法求特解Y*形式，y*1和y*2的形式又如何设呢？
例如练习题求y''-3y'+2y=3x-2的特解y*形式，答案使用y*=y*1+y*2方法求出：（ax+b)C·X·e^x，
设y*1=ax+b, y*2=C·X·e^x...为什么这么设？
为什么不使用 ·：···求出r1=1 ，r2=2然后设y*=(ax+b)·Xe^x呢？

2：问题二：当为自由项f(x)=Pn(x)时，特解Y*形式又如何设呢？
书中一道例题求y''-2y'=3x+1的一个特解，里面说因为f(x)=3x+1是一次多项式，所以设y*=Ax^2+Bx+C，为什么设成2元1次形式呢？

Answer 1

其实这个是课本没有写好。首先一般说来非齐次的，都要先求一个特解，转而化为齐次的微分方程。注意，齐次线性常系数的方程一般是可以经过若干次转换求出来的。那么一般的非齐次项，特解不好求。所以并不是所有的微分方程都可以解出显式解。好了，现在问题是，如果非齐次项是多项式Pn应该怎么算。这个时候可以说明，一定有特解是多项式的形式。也就是第二种方法。并且微分阶数最小的一定是n次多项式

Answer 2

1. 一般求法是先求齐次方程的通解,然后再根据非齐次项的特点求特解.因此,对于你给的练习题,先得出通解为y1=e^x,y2=e^(2x)然后根据3x-2设一特解为y*=Ax+B,代入得A=3/2,B=5/4于是y*=3x/2+5/4故通解为y=C1*e^x+C2*e^(2x)+3x/2+5/42.特解的形式与自由项f(x)有关,关系书上是有的.对于你提出的疑问,因为要使y''-2y'=3x+1,右边为一次多项式,所以左边的次数不能超过2次,如果超过2次,y'会大于等于2次,这样不可能得到右边为一次多项式