Question

已知关于x的方程x^2-(m-2)x-m^2／4=0

已知关于x的方程x^2-(m-2)x-m^2／4=0。
若这个方程的两个实数根x1，x2，满足|x1|=|x2|+2，求m的值及相应的x1和x2。
用韦达定理

Answer 1

|x1|-|x2|=2
(|x1|-|x2|)²=4
|x1|²+|x2|²-2|x1||x2|=4
x1²+x2²-2|x1||x2|=4
由韦达定理可知
x1x2=-m²/4<=0
所以|x1||x2|=-x1x2
x1²+x2²-2|x1||x2|=4可化为
x1²+x2²+2x1x2=4
(x1+x2)²=4
(m-2)²=4
m-2=±2
m=4或m=0
当m=4时，方程为x²-2x-4=0
解得x1=1+√5，x2=1-√5
当m=0时，方程为x²+2x-1=0
解得x1=-1+√2，x2=-1-√2

Answer 2

x1乘以x2=-m^2／4《0，故x1《0，x2》0或x1》0，x2《0。
当x1《0，x2》0时，由|x1|=|x2|+2得x1+x2=-2=m-2得m=0
当x1》0，x2《0得x1+x2=2=m-2得m=4，
综上得m=0或m=4