Question

关于x的方程2^2x-m2^x+4=0(x＜0)有解，求实数m的取值范围

Answer 1

令y=2^x, 因x<0---> 0<y<1
f(y)=y^2-my+4=0需有 (0,1)之间的根
所以：delta=m^2-16>=0--> m>=4 or m<=-4
因为y1y2=4>0，因此两个根同号，都是正根
所以y1+y2=m>0, y1y2=4, 因此至多有一个根在（0，1）
而若有一个根在（0，1），则需f(1)=1-m+4<0-->m>5
所以综合得：m>5
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Answer 2

解：令t=2^x，∵x＜0∴0＜t＜1,∴原方程可变为t^2-mt+4=0(0＜t＜1).对该式变量分离，得到，m=t+4／t.这里不能用基本不等式，因为最后一步判断是否取到等号的时候，取不到。所以要用单调性判别：用导数可以知道，m=t+4／t在（0，1）上是单调递减，所以当t=1时，m=5.∴实数m的取值范围 为m∈（5，+∞).