Question

线性代数相关性判断

线性代数相关性判断1.线性相关的向量组经过有限次线性变换得到的矩阵一定线性相关吗？

2.经过有限次线性变换得到线性无关的向量组，则原向量组必线性无关吗？

试证明

Answer 1

两个问题的答案都是肯定的。向量组线性相关的充分必要条件是它们拼成的矩阵的秩小于向量个数，向量组线性无关的充分必要条件是它们拼成的矩阵的秩等于于向量个数。而初等变换不改变矩阵的秩，甩以两个结论成立。

追问

不是初等变换 只是线性变化

线性变换的矩阵不一定是满秩的

追答

若只是线性变换，当变换矩阵B满秩时，与前面的回答相同。
若变换矩阵B不满秩，记A是列向量组拼成的列数为s的矩阵。
由于r(AB)≤r(A)，则当A的列向量组线性相关时，有r(A)<s，可得r(AB)<s，所以AB的列向量组也线性相关。而当AB的列向量组线性无关时，有r(AB)=s，可得s≤r(A)=s，所以AB的列向量组也线性无关。
两个结论仍然成立。