Question

在△ABC中，sinC＝sinA＋sinB÷cosA＋cosB，试判断△ABC形状。

Answer 1

cosA+cosB=(sinA+sinB)/sinC
a/sinA=b/sinB=c/sinC
所以(sinA+sinB)/sinC=(a+b)/c
所以(b²+c²-a²)/2bc+(a²+c²-b²)/2ac=(a+b)/c
两边乘2abc
ab²+ac²-a³+a²b+bc²-b³=2a²b+2ab²
a³+b³+a²b+ab²-ac²-bc²=0
(a+b)(a²-ab+b²)+ab(a+b)-c²(a+b)=0
a+b>0
所以两边除以a+b
a²+b²-c²=0
所以是直角三角形

Answer 2

∵sinB=sin[180°-（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
又∵sinA+sinB=sinC•（cosA+cosB），
∴sinA+sinAcosC+cosAsinC=sinCcosA+sinCcosB，
∴sinA=sinCcosB-sinAcosC，
在△ABC中，sinA=sin（B+C），
∴sin（B+C）=sinCcosB-sinAcosC，即sinBcosC+cosBsinC=sinCcosB-sinAcosC，
∴cosC（sinB+sinA）=0，
∵sinB＞0，sinA＞0，
∴cosC=0，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形．