Question

若A,B是实对称矩阵，则A与B有相同的特征值是A与B相似的充分必要条件。为什么？

Answer 1

1、必要性：

根据定理：相似矩阵有相同的特征值。若矩阵A与矩阵B相似，则矩阵A与矩阵B有相同的特征值。

2、充分性：

因为矩阵A与矩阵B均是实对称矩阵，所以矩阵A与矩阵B均可对角化；

且矩阵A与矩阵B有相同的特征值，所以矩阵A与矩阵B相似于由相同特征值构成的同一个对角矩阵；

所以矩阵A与矩阵B相似。

扩展资料：

矩阵相似的性质：

设A，B和C是任意同阶方阵，则有

1、反身性：A~ A

2、对称性：若A~ B，则 B~ A

3、传递性：若A~ B，B~ C，则A~ C

4、若A~ B，则r(A)=r(B)，|A|=|B|，tr（A）=tr（B）。

5、若A~ B，且A可逆，则B也可逆，且B~ A。

6、若A~ B，则A与B

7、两者的秩相等；

8、两者的行列式值相等；

9、两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同；

10、两者拥有同样的特征多项式；

参考资料来源：百度百科-相似矩阵

Answer 2

相似矩阵有相同的特征值, 这是定理
反之, 因为A,B是实对称矩阵, 所以A可对角化, 即A,B相似于由特征值构成的同一个对角矩阵, 所以A,B相似.

Answer 3