Question

求证：n^3+5n能被6整除

Answer 1

利用数学归纳法
（1）当n=1时，显然成立。
（2）假设当n=k时，命题成立，即 k^3 +5k被6整除。
当n=k+1时，
(k+1)^3 +5(k+1)=k^3+3K^2+3k+1 +5k+5
=(k^3+5k) + (3k^2 +3k) +6
=(k^3+5k) + 3*k(k+1) +6
(k^3+5k) 被6整除（假设的条件），3*k(k+1)和 6都被6整除。
所以当n=k+1时也成立。

Answer 2

证明：
（1）当n＝1时n^3+5n=6能被6整除 （2）设n＝k时k^3+5k能被6整除，则当n＝k+1时

(k+1)^3+5(k+1)=k^3+5k+3(k^2+k)+6 因为k^3+5k能被6整除 且6也被6整除 现在只要证明3(k^2+k)能被6整除即可

因为k为自然数 当k为偶数时k^2+k=偶数3* (k^2+k)能被6整除
当k为奇数时k^2=奇数 k+k^2＝偶数 所以（k^2+k) 也能被6整除
所以3(k^2+k)能被6整除 所以(k+1)^3+5(k+1)能被6整除 由1、2可得n^3+5n=6能被6整除