求证:n^3+5n能被6整除
2个回答
2013-09-04
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利用数学归纳法
(1)当n=1时,显然成立。
(2)假设当n=k时,命题成立,即 k^3 +5k被6整除。
当n=k+1时,
(k+1)^3 +5(k+1)=k^3+3K^2+3k+1 +5k+5
=(k^3+5k) + (3k^2 +3k) +6
=(k^3+5k) + 3*k(k+1) +6
(k^3+5k) 被6整除(假设的条件),3*k(k+1)和 6都被6整除。
所以当n=k+1时也成立。
(1)当n=1时,显然成立。
(2)假设当n=k时,命题成立,即 k^3 +5k被6整除。
当n=k+1时,
(k+1)^3 +5(k+1)=k^3+3K^2+3k+1 +5k+5
=(k^3+5k) + (3k^2 +3k) +6
=(k^3+5k) + 3*k(k+1) +6
(k^3+5k) 被6整除(假设的条件),3*k(k+1)和 6都被6整除。
所以当n=k+1时也成立。
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2013-09-04
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证明:
(1)当n=1时n^3+5n=6能被6整除 (2)设n=k时k^3+5k能被6整除,则当n=k+1时
(k+1)^3+5(k+1)=k^3+5k+3(k^2+k)+6 因为k^3+5k能被6整除 且6也被6整除 现在只要证明3(k^2+k)能被6整除即可
因为k为自然数 当k为偶数时k^2+k=偶数3* (k^2+k)能被6整除
当k为奇数时k^2=奇数 k+k^2=偶数 所以(k^2+k) 也能被6整除
所以3(k^2+k)能被6整除 所以(k+1)^3+5(k+1)能被6整除 由1、2可得n^3+5n=6能被6整除
(1)当n=1时n^3+5n=6能被6整除 (2)设n=k时k^3+5k能被6整除,则当n=k+1时
(k+1)^3+5(k+1)=k^3+5k+3(k^2+k)+6 因为k^3+5k能被6整除 且6也被6整除 现在只要证明3(k^2+k)能被6整除即可
因为k为自然数 当k为偶数时k^2+k=偶数3* (k^2+k)能被6整除
当k为奇数时k^2=奇数 k+k^2=偶数 所以(k^2+k) 也能被6整除
所以3(k^2+k)能被6整除 所以(k+1)^3+5(k+1)能被6整除 由1、2可得n^3+5n=6能被6整除
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