Question

若幂级数∑an^xn的收敛半径为R,则lim(n√|an|)=1/R这个命题是错的，能不能举

若幂级数∑an^xn的收敛半径为R,则lim(n√|an|)=1/R这个命题是错的，能不能举个反例？ps:开n次根

Answer 1

收敛半径都是R。

∑an*x^(n+1)是∑an*x^n的通项乘以x，不改变收敛半径。
∑an*x^(n-2)是∑an*x^n的通项乘以1/x²，不改变收敛半径。当然还要n≥2。
∑an*x^(n+k)是∑an*x^n的通项乘以x^k，不改变收敛半径。

级数的性质：通项乘以非零常数，收敛性不变。

追问

你这说的好像跟我问的没关系

Answer 2

An=(sin(n*pi/2))^2,n为奇数时An=1，n为偶数时An=0.An开n次方的极限显然不存在，A(n+1)/An的极限也不存在。此时级数An*x^n=x+0+x^3+0+x^5+0+.....=级数Bn*x^(2 n-1)=x+x^3+x^5+......,（Bn=1）用正项级数比值或根值审敛法求得幂级数收敛半径为1

Answer 3

An = 1 （n为奇数）
An = 0（n为偶数）
则幂级数收敛半径为1， 但是上述极限不存在。