Question

求下列函数的值域

y=2x-√(x-1)

Answer 1

解：
y=2x-√(x-1)
=2(√(x-1))²-√(x-1)+2
=2(√(x-1)-1/4)²+15/8
≥15/8，仅当√(x-1)=1/4时，等号成立。
即y=2x-√(x-1)的值域为[15/8,+∞)

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Answer 2

y=2x-√(x-1)
令√(x-1)=t
x=t²＋1,(t≥0)
y=2(t²＋1)-t
=2t²-t+2
=2(t²-1/2t)+2
=2(t-1/4)²+15/8
t=1/4时取最小值15/8
最大值不存在
所以
值域为[15/8,+∞）

Answer 3

函数的定义域是x≥1
令√(x-1)=t，则t≥0，且x-1=t^2 ===> x=t^2+1
所以，y=2(t^2+1)-t=2t^2-t+2
=2[t^2-(1/2)t+(1/16)]-2*(1/16)+2
=2[t-(1/4)]^2+(15/8)
对称轴为t=1/4，开口向上
所以，当t≥0时，y有最小值=15/8
则，y的值域是：y∈[15/8,+∞)

Answer 4

令t=√(x-1)
t²=x-1
x=t²+1
2x=2t²+2
原函数可化为；
y=2t²-t+2 t≥0
对称轴为;t=1/4,
y(t)在[1/4,+∞)上先减后增，函数仅存在最小值，
y(min)=y(1/4)=15/8
所以原函数的值域为：[15/8,+∞)