Question

求和空间W1+ W2以及交空间W1Π W2的基与维数

Answer 1

因为dim(W1+W2)>=dim(W1)>=dim(W1∩W2)=dim(W1+W2)-1

即dim(W1+W2)>=dim(W1)>=dim(W1+W2)-1

由于空间的维数为非负整数，

所以，要么dim(W1)=dim(W1+W2)，要么dim(W1)=dim(W1+W2)

若dim(W1)=dim(W1+W2)

则由于W1是W1+W2的子空间，当其的维数与W1+W2相等时dao，它的一组基就是W1+W2的一组基，

此时，W1=W1+W2

从而由dim(W1+W2)=dimW1+dimW2-dim(W1∩W2)

得dim(W1)=dimW1+dimW2-dim(W1∩W2)

即dimW2=dim(W1∩W2)

同样，因为W1∩W2是W2的子空间，故此时W1∩W2=W2，

同理，若dim(W1)=dim(W1+W2)，则易证此时W1∩W2=W1，W1+W2=W2

这就证明了若W1,W2是n维线性空间V的两个线性子空间,dim(W1+W2)-1=dim(W1∩W2),证明W1+W2与其中的一个子空间相等，W1∩W2与另一个子空间相等。

扩展资料：

线性空间亦称向量空间。它是线性代数的中心内容和基本概念之一。设V是一个非空集合，P是一个域。若：

在V中定义了一种运算，称为加法，即对V中任意两个元素α与β都按某一法则对应于V内惟一确定的一个元素α+β，称为α与β的和。

在P与V的元素间定义了一种运算，称为纯量乘法(亦称数量乘法)，即对V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素kα，称为k与α的积。

参考资料来源：百度百科-子空间